ФЭНДОМ


Это незавершенная статья
Она содержит неполную информацию
Вы можете помочь Informatic вики, дополнив её.
  1.          Основатели теории алгебы логики[1]   
  2.          Логика и логические основы компьютера[2]
  3.          Логические операции[3]
  4.          Законы алгебы логики[4]
  5.          Мультфильм "Время математической логики"[5]

1. Из истории алгебры логики    Править

Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука древняя. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения древнегреческих мыслителей. Основоположником логики считают греческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человечес­кое мышление, такие его фор­мы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формаль­ной стороны. Так возникла формальная логика — наука, пытавшаяся найти ответ на воп­рос, как мы рассуждаем, изу­чающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже про­шла значительный путь развития. В течение многих ве­ков логика помогала математике стать строгой, последо­вательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказа­лась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие мате­матики, и особенно логики, замедлилось, потому что но­вые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: пер­вое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам на­уки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декар­та (1596-1650). Он считал, что человеческий разум мо­жет постигнуть истину, если будет исходить из достовер­ных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях ис­следований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общеприняты­ми в математике принципами.

В то время и другие ученые заметили, что выводы согласно определенным схемам напоминают математические выкладки при нахождении системы уравнений и неравенств. Особенно на этой стороне логических выводов настаивал великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), предложивший детальную программу логических исследований методами математики. Его считают основоположником математической логики. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возмож­ности применения двоичной системы счисления в вычис­лительной математике.

Логические высказывания Лейбница, существенно опередившие эпоху, оставались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были найдены в архиве и опубликованы французским математиком Луи Кутюра. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики. 

Но этим идеям Лейбница суждено было получить даль­нейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах дру­гого великого математика Джорджа Буля, отца писатель­ницы Э.Л. Войнич - автора романа "Овод". Его именем назван раздел математической логики - булева алгебра. Знаменитые труды Д. Буля появились в конце 40-х - начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и логическому выводу и к теоретико-вероятностным  рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней. 

Задача логики описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.

Логическая идея не исчерпала себя и до сих пор. Она находит применение в современном разделе математической логики в виде алгебры высказываний, алгебры множеств, алгебры релейных схем, без которых программирование и проектирование компьютеров было бы невозможным.

2. Область применения алгебры логики.Править

Алгебра логики сегодня является частью математики.

Свое практическое применение алгебра логики (булева алгебра) нашла:


  1. в вычислительной технике. В этом случае булевы значения - это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Аппарат алгебры логики используется при использование функции «Если» в электронных таблицах; в программировании – при записи сложных условий, проверяемых оператором условного перехода; в базах данных – при формировании запросов на поиск необходимой информации в них. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории;
  2. в логических построениях в математике. В этом случае булевы значения - это "ложь" и "истина". Они определяют истинность или ложность некоторого высказывания. Вы применяете их решая уравнения, системы уравнений, неравенства;
  3. повседневных рассуждениях. В этом случае булевы значения - это также "ложь" и "истина". Они представляют собой оценку истинности или ложности некоторого высказывания.

  3.Формы человеческого мышления.Править

Логика рассматривает три различных формы, в которых осуществляется  мышление: понятие, суждение (высказывание) и умозаключение.

ПОНЯТИЕ- форма мышления, отражающая предметы в их общих и существенных признаках. Языковой формой выражения понятия является слово.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны,  чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.                                         

Например, признаками понятия апельсин являются: круглый, оранже­вый, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отли­чить апельсин от не апельсина? По ним легко отличить апельсин от ябло­ка, но нельзя отличить апельсин от мандарина: большой мандарин можно спутать с маленьким апельсином. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.

Понятие имеет две основные логические характеристики: содержа­ние и объем. Содержание понятия — совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержанием понятия ромб является совокупность двух су­щественных признаков: быть параллелограммом и иметь равные сторо­ны. Содержание понятия ученик включает в себя признаки: познавать но­вое и иметь учителя. Содержание понятия хороший ученик включает в себя признаки: познавать новое, иметь учителя, иметь интерес к учебе, быть исполнительным, быть обязательным, быть воспитанным, помогать отстающим. Даже если ученик плохо учится, но проявляет интерес к учебе, всегда выполняет домашние зада­ния, воспитан и помогает по мере сил тем, кто слабее его, то его можно отнести по данной совокупности признаков к хорошим ученикам.

Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками, мож­но объединить во множество.

ОБЪЕМ понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Например, объем понятия река — это множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др. Объем понятия уче­ник включает в себя всех людей, которые когда-либо учились, учатся сейчас или будут учиться когда-нибудь.По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и несрав­нимые.                             

Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имею­щие общих признаков, называются несравнимыми.

Примеры несравнимых понятий:

1) Романс и кирпич.

2) Безответственность и нитка.

Остальные понятия называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовмести­мые (объемы которых не совпадают ни по одному элементу).

СУЖДЕНИЕ(высказывание, утверждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Языковым выражением суждений является повествовательное пред­ложение.

 Например:

1) Этот апельсин вкусный.

2) Все вписаны углы, опирающиеся на диаметр – прямые.

СОДЕРЖАНИЕ суждения — это то, о чем в нем идет речь, его смысл.

Суждения обозначаются  боль­шими буквами латинского алфавита: А, В, С, D, ...Характеристикой каждого суждения (выс­казывания) является,  есть истинность или лож­ность; эту характеристику называют зна­чением истинности (или истинным значением) данного суждения. Если суж­дение истинно, то значение истинности су­ждения обозначают числом 1, если,  сужде­ние ложно –  числом 0. Например, суждение "Киев - столица Украины"– истинное. Если его обозначить буквой А, то можно записать: А = 1. Суждение "Высота гор на Земле пре­восходит 15 км" - ложное. Если его обо­значить буквой В, то можно записать: В = 0. 

Те утверждения (или те предложе­ния), о которых нельзя сказать, истин­ны они или ложны, не являются суж­дениями. Например, утверждения: "Эта книга — информатика", "Метеорологи­ческий прогноз" - не являются суждени­ями.

Не будут суждениями предложения вопросительные и восклицательные: «Кому на Руси жить хорошо?», «Хорошо быть генералом!».

Суждениями не будут и утвержде­ния вида: «5 + Х = 12», «Х + Z < 1», "Число Y  кратно 3" и др, поскольку значения  X, Y, Z не известны. Такие выражения о переменных (объектах) называют предикатами.

Предикаты становятся суждениями, если переменной (или переменным - если их несколько) придать некоторое числовое значение (конечно, из области допустимых значений) или применить логическую операцию, которая устанав­ливает область истинности. Например:

«5 + Х =12, если Х=7».

«Число Y кратно 3, когда сумма цифр числа Y делится на 3 без остатка».

Суждения подразделяются на общие и частные.

ЧАСТНЫЕ суждения выражают конкретные (частные) факты.

Примеры частных суждений: «7 – 2 > 3», «Луна — спутник Земли», «Этот четы­рехугольник ромб».

ОБЩИЕ суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений.

Примеры общих суждений: «В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 90°»,  «Всякий человек –млекопитающее».

Может оказаться, что два суждения А и В одновремен­но истинны или одновременно ложны; такие суждения называются  равносильными (эквивалентными) и обозначаются: А=В.

Например, суждения:

А= «этот треугольник равносторонний»;

В= «этот треугольник равноугольный» — будут равносильными, так что А=В.

Различают суждения простые и сложные.

Суждение считается ПРОСТЫМ, если никакая его часть не является суждением.

СЛОЖНЫЕ суждения характеризуются тем, что об­разованы из нескольких суждений с помощью опре­деленных способов соединения суждений; простые суждения этим свойством не обладают. Например, суждение: «Париж - столица Албании» -простое. А суждение «Неверно, что Париж - столица Ал­бании» — сложное. ( Демонстрируется слайд 21)

'УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ— 'форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по оп­ределенным правилам вывода получаем суждение-заключение.  Например:


  1. Академик Ершов русифицировал язык Паскаль.
  2. Язык Паскаль – структурный язык.

Посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения.

Примеры верных умозаключений:


  1.  Все граждане России имеют право на отдых.
  2. Я - гражданин России.
  3. Я имею право на отдых. 
  4. Если цветы поливают, то они не засохнут.
  5. Цветы засохли.

Не всегда из истинных посылок можно получить истинное умозаключение.

Например:

Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток.  Истинное суждение

Алюминий проводит ток.                                                                          Истинное суждение

Алюминий - металл.                                                                                Истинное умозаключение

Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток.            Истинное суждение

Вода проводит ток.                                                                                  Истинное суждение

Вода - металл.                                                                                         Ложное умозаключение

Пермяков Д. (обсуждение) 18:25, февраля 13, 2014 (UTC)

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики